lim(1/n^0.5)*{[1/(1+n)^0.5]+[1/(2+n)^0.5]+[1/(3+n)^0.5]+……+[1/(n+n)^0.5]} (n→∞)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/03 07:56:58
要过程，谢谢

对于1/(n+k)^0.5，有：
1/(n+k)^0.5=2/[2(n+k)^0.5]
>2/[(n+k)^0.5+(n+k+1)^0.5]=2[(n+k+1)^0.5-(n+k)^0.5] （1）
1/(n+k)^0.5=2/[2(n+k)^0.5]
<2/[(n+k)^0.5+(n+k-1)^0.5]=2[(n+k)^0.5-(n+k-1)^0.5] （2）
由（1）：
1/(1+n)^0.5+1/(2+n)^0.5+...+1/(n+n)^0.5
>2[(n+2)^0.5-(n+1)^0.5+(n+3)^0.5-(n+2)^0.5+...+(n+n+1)^0.5-(n+n)^0.5]
=2[(2n+1)^0.5-(n+1)^0.5]
所以
原式>1/n^0.5*2[(2n+1)^0.5-(n+1)^0.5]=2[(2+1/n)^0.5-(1+1/n)^0.5]
同理，由（2）可得：
原式<1/n^0.5*2[(2n)^0.5-(n)^0.5]=2[2^0.5-(1)^0.5]
而当n→∞时,
lim{2[(2+1/n)^0.5-(1+1/n)^0.5]}=lim{2[2^0.5-(1)^0.5]}=2*2^0.5-2
由夹逼原理，
lim(1/n^0.5)*{[1/(1+n)^0.5]+[1/(2+n)^0.5]+[1/(3+n)^0.5]+..+[1/(n+n)^0.5]}=2*2^0.5-2

=0
因为当n趋近于正无穷时,n^0.5趋近于无穷大,所以1/n^0.5趋近于无穷0,0乘任何数得0,所以等于0
当n趋近于负无穷时，n^0.5趋近于无穷小,所以1/n^0.5趋近于无穷0,0乘任何数得0,所以等于0
综上,答案为0